Definiție și construcție
Un hexagon normal este o figură plană, care are șase laturi de lungime egală și aceleași unghiuri egale.
Dacă ne reamintim formula pentru suma unghiurilor unui poligon
180 ° (n-2),
se pare că în această figură este egal cu 720 °. Deoarece toate unghiurile figurinei sunt egale, este ușor să se calculeze că fiecare dintre ele este egală cu 120 °.
A desena un hexagon este foarte simplu, pentru asta sunt suficiente busole si conducatori.
Instrucțiunile pas cu pas vor arăta astfel:
o linie dreaptă este trasă și un punct este pus pe ea;- un cerc este construit din acest punct (acesta este centrul acestuia);
- alte două sunt construite din intersecția cercului cu linia, trebuie să se convertească în centru.
- După aceea, toate punctele din primul cerc sunt conectate în serie pe segmente.
Dacă doriți, puteți face fără linie prin trasarea a cinci cercuri egale de-a lungul razei.
Cifra astfel obținută va fi un hexagon obișnuit, iar acest lucru poate fi demonstrat mai jos.
Proprietățile sunt simple și interesante.
Pentru a înțelege proprietățile unui hexagon obișnuit, este logic să o împărțiți în șase triunghiuri:
Acest lucru va ajuta la vizualizarea în continuare a proprietăților sale, principalele dintre acestea fiind:
- diametrul cercului circumscris;
- diametrul cercului înscris;
- zonă;
- perimetru.
Cercul circumscris și posibilitatea construirii
Puteți descrie un cerc în jurul unui hexagon și mai mult decât unul. Deoarece această cifră este corectă, se poate face simplu: din două colțuri adiacente, țineți în interiorul bisectorului. Se intersectează în punctul O și formează un triunghi împreună cu partea dintre ele.
Unghiurile dintre partea hexagonală și bisectoarele vor fi de 60 ° fiecare, astfel încât puteți spune cu certitudine că un triunghi, de exemplu, AOB este isoscele. Și deoarece al treilea unghi va fi, de asemenea, egal cu 60 °, este, de asemenea, echilateral. Rezultă că segmentele OA și OB sunt egale, ceea ce înseamnă că ele pot servi drept raza unui cerc.
După aceasta, puteți merge la următoarea parte, iar din colțul de la punctul C trageți și bisectorul. Veți obține un alt triunghi echilateral, iar partea AB va fi comună pentru două simultan, iar OS va fi o altă rază prin care merge același cerc. În total, vor exista șase astfel de triunghiuri și vor avea un vârf comun la punctul O. Se pare că va fi posibil să se descrie cercul și este doar unul și raza sa este egală cu partea hexagonală:
R = a .
De aceea este posibil să construim această figură cu o busolă și un conducător.
Zona acestui cerc va fi standard:
S = πR²
Cerc inscris
Centrul cercului circumscris va coincide cu centrul înscrisului. Pentru a verifica acest lucru, se pot desena perpendiculare din punctul O pe laturile hexagonului. Acestea vor fi înălțimile triunghiurilor care alcătuiesc hexagonul. Și într-un triunghi isoscel, înălțimea este mediana părții pe care se sprijină. Astfel, această înălțime nu este mai mult decât perpendicularul median, care este raza cercului inscripționat.
Înălțimea unui triunghi echilateral este pur și simplu calculată:
h2 = a2- (a / 2) 2 = a²3 / 4, h = a (√3) / 2
Și din moment ce R = a și r = h, se dovedește că
r = R (√3) / 2 .
Astfel, cercul înscris trece prin centrele laturilor unui hexagon obișnuit.
Zona sa va fi:
S = 3πa² / 4,
adică trei sferturi din cele descrise.
Perimetrul și zona
Din perimetru, totul este clar, aceasta este suma lungimilor laturilor:
P = 6a sau P = 6R
Dar zona va fi egală cu suma tuturor celor șase triunghiuri în care se poate împărți hexagonul. Întrucât suprafața unui triunghi este calculată ca jumătate din produsul bazei în funcție de înălțime, atunci:
S = 6 (a / 2) (a (√3) / 2) = 6a2 (√3) / 4 = 3a2 (√3)
S = 3R2 (√3) / 2
Cei care doresc să calculeze această zonă prin raza cercului inscripționat se pot face astfel:
S = 3 (2r / √3) ² (√3) / 2 = r² (2√3)
Amuzant construi
Un triunghi poate fi înscris într-un hexagonal, ale cărui laturi vor conecta vârfurile printr-o singură:
În total, vor exista două dintre ele, iar impunerea lor unul pe altul va da stea lui David. Fiecare dintre aceste triunghiuri este echilateral. Acest lucru nu este greu de verificat. Dacă te uiți la partea UA, atunci aparține de două triunghiuri simultan - tu și AES. Dacă în primul dintre ele AB = BC și unghiul dintre ele este de 120 °, atunci fiecare dintre restul va fi de 30 °. De aici puteți face concluzii logice:
- Înălțimea ABC de la vârful B va fi egală cu jumătatea laturii hexagonului, deoarece sin30 ° = 1/2. Cei care doresc să fie convinși de acest lucru pot fi sfătuiți să recalculeze în funcție de teorema lui Pitagora, se potrivește perfect aici.
- Partea AC va fi egală cu două raze ale cercului inscripționat, care din nou este calculată de aceeași teoremă. Asta este, AC = 2 (a (√3) / 2) = a (√3).
- Triunghiurile ABC, ETS și AEF sunt egale pe ambele părți și unghiul dintre acestea, ceea ce implică egalitatea laturilor AC, CE și EA.
Intersectându-se unul cu celălalt, triunghiurile formează un hexaj nou, și este, de asemenea, corect. Este dovedit simplu:
Unghiul ABF este egal cu unghiul YOU. Astfel, triunghiul rezultat cu baza AB și nodul fără nume, opus acestuia este isoscele.- Toate aceleași triunghiuri, ale căror bază este partea hexagonului, sunt egale pe partea și pe colțurile adiacente.
- Triunghiurile de la vârfurile hexagonului sunt echilaterale și egale, care rezultă din paragraful anterior.
- Colțurile noului hexagon sunt 360-120-60-60 = 120 °.
Astfel, figura îndeplinește caracteristicile unui hexagon regulat - are șase laturi și unghiuri egale. Din egalitatea triunghiurilor de la vârfuri, este ușor să se deducă lungimea laturii noului hexagon:
d = a (√3) / 3
Va fi o rază a circumferinței descrise în jurul acesteia. Raza inscripționată va fi de jumătate din dimensiunea laturii hexagonului mare, care a fost dovedită atunci când se ia în considerare triunghiul ABC. Înălțimea sa este doar jumătate din lateral, deci a doua jumătate este raza cercului înscris în micul hexagon:
r2 = a / 2
Zona noului hexagon poate fi calculată după cum urmează:
S = (3 (√3) / 2) (a (√3) / 3) ² = a (√3) / 2
Se pare că suprafața hexagonului din interiorul stelei lui David este de trei ori mai mică decât cea a celei mari, în care este inscripționată steaua.
De la teorie la practică
Proprietățile hexagonului sunt utilizate foarte activ atât în natură, cât și în diferite domenii ale activității umane. În primul rând, se referă la șuruburi și piulițe - capacele primului și celui de-al doilea nu sunt altceva decât un hexagon obișnuit, dacă nu țineți cont de șanfren. Dimensiunea cheilor corespunde diametrului cercului inscripționat - adică distanța dintre fețele opuse.
Tigla hexagonală a găsit de asemenea și utilizarea sa. Este mult mai puțin răspândită decât una quadrangulară, dar este mai convenabil să o punem: la un moment dat se întâlnesc trei plăci, nu patru. Compozițiile pot fi foarte interesante:
Plăcile de beton sunt de asemenea disponibile.
Prevalența hexagonilor în natură este explicată pur și simplu. Astfel, cel mai simplu mod de a se potrivi cu cercurile și bilele pe plan, dacă au același diametru. Din acest motiv, fagurele au o astfel de formă.